En el dibujo vemos en las tres primeras perspectivas -borde superior izquierdo- la perspectiva caballera de cubos con reducciones distintas a 135º. 

Debajo observamos las mismas reducciones para las perspectivas del cubo con un ángulo a 315º y en vertical -centro- los mismos cubos con igual reducción vistos bajo un ángulo de 225º .

A la derecha en el cuadro rojo podemos observar las mismas perspectivas de los cubos pero ahora la cara que aparece en verdadera forma es la horizontal. Siempre hemos hecho todas las perspectivas exactamente iguales, eso quiere decir que realmente solo hay tres cubos distintos pero la colocación de los mismos y sus ejes respectivos definen no sólo distintas perspectivas, sino distintos ángulos.

En el dibujo podemos observar en perspectiva axonométrica unas escaleras en color amarillo, en el primer tramo de las escaleras tenemos la proyección ortogonal del rectángulo que las acota sobre un plano, este rectángulo aparece en color azul. Sobre este plano del rectángulo azul proyectamos todos los detalles de las escaleras de forma oblicua, de manera que tenemos en esta perspectiva la proyección llamada perspectiva militar, de las escaleras amarillas. El resultado son las escaleras naranjas –perspectiva militar sobre el plano oblicuo-, como podemos observar todos los planos de la escalera (peldaños llamados huellas u horizontales y descansillos) son paralelos al plano de proyección, por tanto las figuras que se proyectan a partir de ellos también tienen la misma forma, igual dimensión e igual ángulo entre sus aristas. A continuación hemos cogido el plano sobre el que está proyectado el dibujo de las escaleras naranjas y lo hemos hecho coincidir con el plano del papel, de esta manera tenemos ya en verdadera forma la perspectiva militar de las escaleras, que aparecen en color rojo en el extremo derecho del dibujo. Las líneas verticales- he prolongado una, por cierto- deben ser ortogonales a la base del papel, ya que para mayor realismo las líneas verticales en el dibujo deben aparecer verticales, una vez que las coloquemos de esta manera el dibujo resultará más realista. En el dibujo de la izquierda de las escaleras amarillas y su proyección en naranja, podemos observar el triángulo que forma un punto, su proyección sobre el plano y el triángulo rectángulo que pasa por ambos, de manera que los dos puntos anteriores son las esquinas de la hipotenusa y el cateto horizontal coincide con el plano del rectángulo azul. Como podemos observar un segmento vertical de 1,5 unidades se transforma en otro de una unidad, en consecuencia tenemos que la escala es uno dividido entre 1,5, que significa que 1 cm de la representación de un segmento vertical corresponde a la realidad a 1,5 cm de la medida vertical de la escalera tridimensional.

Perspectiva militar de las escaleras: los planos horizontales en verdadera forma y las líneas verticales con su reducción

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En la figura de la izquierda observamos unas escaleras que se proyectan mediante líneas paralelas sobre un plano verde, la proyección es oblicua. Esta proyección oblicua llamada perspectiva militar está sobre un plano que es paralelo a las huellas de la escalera, esto es, a los rectángulos  rojo, azul y amarillo, por tanto la traslación de estas caras sobre el plano verde hace que las figuras mantengan su dimensión y verdadera forma.
En la imagen de la derecha vemos en el sistema diédrico sus tres proyecciones: planta, alzado y perfil, podemos observar en el perfil cómo se proyectan mediante líneas frontales y que forman cierto ángulo respecto al plano horizontal, eso provoca la perspectiva militar de la figura, tal y como la vemos en la planta.
Lo ideal sería que las escaleras se girarán ligeramente para que su perspectiva militar fuera más fácil de entender, ya que de esta manera sólo vemos rectángulos, por oposición a las escaleras del anterior ejercicio que se proyectan de una forma más oblicua y dejan ver los planos laterales de las escaleras, dando una mejor información de su forma.

En la imagen del borde superior izquierdo podemos observar una figura hecha con cubos de colores, se proyecta de forma oblicua sobre un plano azul, de manera que éste es paralelo a un grupo de caras de los cubos. Ésa proyección oblicua es la perspectiva militar del objeto. En la imagen de la derecha del borde superior observamos esa misma figura con su proyección sobre el plano pero bajo otro punto de vista. Si bajamos una vertical a por las aristas de los cubos amarillo y violeta hasta que corte al plano y prolongamos la proyección correspondiente de estas aristas del plano azul con una recta b hasta que corta a la anterior obtenemos un triángulo rectángulo en color naranja y cuyos catetos son ab. La reducción que experimenta esta proyección de la figura sobre el plano azul viene determinada por el cociente entre b y a. Como los dos catetos son iguales, cualquier segmento vertical con una medida m se transforma que otro segmento proyectado sobre el plano azul con la misma medida, decimos que el coeficiente de reducción es uno, que quiere decir que no hay ni ampliación ni reducción, la medida de las verticales es invariante al ser proyectada sobre el plano azul. Como las medidas verticales al ser proyectados no experimentan reducción y como las caras paralelas al plano de proyección al ser proyectadas sobre él también son invariables, tenemos que todas las caras del cubo resultan invariables –las horizontales y verticales-, como vemos en la figura inferior del centro, en el rectángulo aparece la figura en planta (vista desde arriba) y proyectada sobre el plano, de manera que observamos el plano en verdadera forma. A la derecha, en el borde inferior, vemos la figura encerrada en una elipse, en este caso tenemos una proyección axonométrica de la misma viéndola bajo un ángulo de 45°, de esta manera el objeto tridimensional coincide exactamente con su proyección sobre el plano, de manera que si el objeto fuera transparente dejaría ver la figura de atrás perfectamente coincidente con ella.

En la figura de la izquierda podemos ver un conjunto de prismas que están en perspectiva militar, están proyectados de forma oblicua mediante de los elementos tridimensionales que aparecen en la imagen de la derecha. Como podemos observar la imagen de la derecha y central, muestran la axonometría del conjunto de prismas que proyectan todos sus detalles sobre un plano, de manera que los rayos de proyección son todos paralelos (proyección cilíndrica) y la dirección es oblicua.

Cuando tenemos que el plano de proyección es paralelo a alguna de las caras de la figura tridimensional, observamos que esas caras se proyectan en verdadera forma sobre el plano, es una cualidad de la proyección oblicua cilíndrica – tanto la perspectiva caballera como esta perspectiva militar-, otra de las características de esta perspectiva es que el paralelismo es un invariante, esto quiere decir que si la figura tiene caras paralelas o aristas paralelas, sus proyecciones también conservan esta propiedad, sobre el dibujo proyectado las aristas o caras también serán paralelas entre sí.

En la figura del lado izquierdo podemos observar un objeto tridimensional visto desde arriba (en planta) y su proyección oblicua sobre un plano, esta proyección oblicua es la perspectiva militar del objeto. En la imagen del centro observamos el objeto tridimensional y su proyección oblicua sobre el plano, como podemos ver la altura del objeto es 49 y se proyecta de manera que  ese segmento vertical se transforma en otro de 66 unidades, esto quiere decir que se amplía en una escala de 66 dividido entre 49. En este caso en vez de reducción, cosa que se viene utilizando usualmente en perspectiva militar para dar más realismo, tenemos que se produce una ampliación. Normalmente las ampliaciones se hacen cuando interesa mostrar detalles de figuras en sus planos verticales, que son realmente los que se amplían, ya que las caras superiores horizontales al proyectarse mediante líneas paralelas sobre un plano paralelo, aparecen invariantes, esto es, en verdadera forma, con los mismos ángulos entre sus aristas y las mismas dimensiones, es lo que en simetría se llama una identidad, una homotecia afín. En la figura de la derecha observamos un objeto tridimensional y su proyección oblicua sobre el plano, aunque su proyección se alargue mucho siempre podemos encontrar una posición bajo una dirección de los rayos proyectantes en la que ambas figuras sean coincidentes, por supuesto no para el sistema visual ya que es una perspectiva cónica, realizada desde un punto, estamos hablando de proyecciones cilíndricas, en la que los rayos que se proyectan  son todos paralelos, y si la figura sale muy larga, como en este caso, quiere decir que la proyección es muy oblicua, al igual que cuando el sol proyecta su sombra en el crepúsculo como en el ocaso, que estando cerca del horizonte las sombras de los objetos aparecen alargadas.

En la figura de la izquierda podemos observar un objeto en planta – visto desde arriba- con su proyección oblicua sobre un plano que coincide con el del papel. Como podemos observar las caras horizontales del objeto paralelas al plano de proyección resultan invariables al ser proyectadas, mientras que las caras verticales que no podemos ver en planta se transforman en la perspectiva militar o proyección oblicua hecha mediante paralelas, en líneas que definen la dirección de los rayos de proyección. Todo esto es lo que podemos observar en el dibujo de la derecha de fondo azul, la figura tridimensional que se proyecta mediante líneas paralelas y oblicuas sobre un plano que es coincidente con el del dibujo –o de la pantalla de este ordenador-, como pudimos observar en la figura de la izquierda. La figura en perspectiva militar experimenta una ampliación ya que un segmento vertical de 68 unidades se transforma sobre el plano en un segmento de 92 unidades.